تبلیغات

نوار موبیوس

نوار موبیوسیکی از پدیده های جالب در ریاضیات «نوار موبیوس» است که در اواخر قرن هجدهم توسط «فردیناند موبیوس» معرفی شد. گفته می‏شود که نوار موبیوس فقط یک رو دارد. در این مقاله قصد بر این است که با طرح مباحث پیش زمینه ای هندسه به بررسی کیفی نوار موبیوس بپردازیم و د رادامه قدری در خصوص خواص جبری و ریاضی آن صحبت کنیم.

نوار موبیوس حاوی پیامهای مهمی‏برای ماست. «بی مرزی و نامتناهی بودن» فضا و کاینات از مهمترین این پیامهاست که بیان هندسی و ریاضی آن در این مقاله مورد بحث قرار می‏گیرد.

 

الف) هندسه و مثلثات مسطح بیضوی:

«بی مرزی فضا از یقین تجربی بزرگتری برخوردار است تا از تجربه ای خارجی. اما نامتناهی بودن آن به هیچ روی چنین نیست.»                                                                                                            ریمان

پیش از پرداختن به مبحث نوار موبیوس قصد داریم مطالبی را در خصوص هندسه و مثلثات مسطح بیضوی مورد بررسی قرار دهیم :

اصل موضوع سرشتنمای هندسة اقلیدسی حکم می‏کند که از هر نقطه یک، و فقط یک خط می‏توان کشید که با خط مفروضی موازی باشد. از سوی دیگر صفت شاخص هندسة مسطح هذلولوی این فرض است که از یک نقطه تعدادی نامتناهی موازی با یک خط می‏توان رسم کرد. اکنون بر عهدة ماست که  اگر هم به اختصار، به بررسی نتایج و فرض سومی‏بپردازیم؛ و آن این است که از یک نقطه هیچ خط نمی‏توان کشید . که با خط دیگری موازی باشد، این مطلب را هم ارز با فرض زاویة منفرجه ساکری می‏پذیریم. او و دیگران توانستند، هندسه ای را که بر این مبنا قرار می‏گرفت کنار بگذارند زیرا که آنان به صراحت یا به نحوی مقدر خط راست را نامتناهی می‏دانستند . و باید به یادآورد که ما ثابت کردیم که این دو فرض با هم سازگار نیستند. برای روشن تر ساختن مطلب خاطر نشان می‏کنیم که اگر خط راست نامتناهی باشد. اثبات حکم 16 کتاب یکم اقلیدس معتبر است و در نتیجه حکم 17 همان کتاب نیز چنین است . اما در این حالت همیشه، دست کم ، یک خط می‏توان بر نقطه ای واقع در خارج خطی و موازی آن گذراند.

ریمان بود که برای اولین بار اهمیت فرق گذاشتن میان مفهوم های بی مرز بودن و نامتناهی بودن را در ارتباط با مفهوم های فضایی خاطر نشان ساخت. هرقدر هم که ما قویاً معتقد به بی انتها بودن خط راست باشیم لزوماً نتیجه نمی‏توان گرفت که خط نامتناهی است.

بنابراین پیش از آنکه رسماً اصل موضوع سرشت نمای هندسة بیضوی را بیان کنیم به جای فرض مقدر اقلیدس بر نامتناهی بودن خط فرض ملایم تری را قرار می‏دهیم :

 اصل موضوع . هر خط راستی بی مرز است.

اصل موضوع سرشتنمای هندسة هذلولوی با همة اصل موضوعهای هندسة اقلیدسی سازگار است. مگر اصلی که خود جانشین آن شده است . در حقیقت شباهت آن دو هندسه در مبانی و احکام اولشان بود که ما را قادر ساخت که بی مقدمه‏چینیهای دور و دراز و ابهام آور، شرحی درباره هندسه هذلولوی عرضه کنیم اما نقل از هندس اقلیدسی به هندسه بیضوی به این آسانی دست نمی‏دهد. اصل موضوع سرشتنمای هندسة بیضوی که در قسمت بعد خواهد آمد، نه تنها با آن اصل موضوع هندسة اقلیدسی که جایش را گرفته است ، و با آن که مقرر می‏دارد که خط راست نامتناهی است ، ناسازگار است بلکه ، چنانکه خواهیم دید ، با اصلهای دیگر نیز چنین است. وانگهی با نظری انتقادی باید در این نکته نگریست که آن احکام هندسة اقلیدسی که به صورتی نهفته به نامتنهای بودن خط متکی هستند، به ویژه حکم 16 کتاب یکم و نتایج آن به طور کلی دیگر معتبر شناخته  نمی‏شوند.

اصل موضوع سرشتنمای هندسة بیضوی و نتیجه هایی که بیفاصله بر آن مترتبند :

با تغییری که در بالا دادیم اکنون آماده‏ایم که اصل موضوع سرشتنمای هندسة بیضوی را معرفی کنیم.

اصل موضوع : دو خط راست همیشه تقاطع می‏کنند.

فرض کنید L خط راستی باشد . در دو نقطه دلخواهB,A  از این خط خطهای عمود بر آن رارسم می‏کنیم.

 

الف )

بنابر اصل موضوع سرشت نما این خطها در نقطه ای مانند O تقاطع می‏کنند و چون در مثلث AOB زاویه های B , A متساویند نتیجه می‏شود که OA  و OB برابرند.2

هرگاه AB را از هر طرف. مثلاً از طرف B ، تا C امتداد دهیم بطوریکه BC مساوی AB باشد، و اگر OC  را رسم کنیم به آسانی می‏توان نشان داد که OC عمود است بر L و مساوی است با OA و OB .باتکرار این ترسیم به این نتیجه می‏رسیم که هر گاه پاره خطی مانند ABازخطی در نظرگرفته شودوPنقطه ای ازLباشد چنان که APمساوی mABشود (mعددصحیح مثبتی است)آنگاه عمودیکه درpبرLاخراج گرددبرO نقطه برخورد عمودهای برLدرAوBمی‏گذرد وOpبرابر است با OA  .بعدABرابه nجزءمتساوی تقسیم کنید و نقاط تقسیم راQ1,Q2,Q3…….Qn-1بنامید. عمود بر L در Q عمود AO را در O قطع خواهد کرد زیرا که اگر آن را در نقطه ای دیگر قطع می‏کرد عمودی هم که از B خارج شده بود بر این نقطه می‏گذشت، و این از آنچه جلوتر ثابت شد واضح تر است همین حکم بر عمودهای نقاط دیگر تقسیم جاری است . چون از این راه استدلال کنیم نتیجه میگیریم که هرگاه AB و AP نسبت به هم اندازه پذیر باشند عمودی که از P اخراج شود بر O خواهد گذشت. و OP برابر OA خواهد بود وقتی، که AB و AP نسبت به هم اندازه پذیری نباشند با روشهای به حد رفتن ، مطابق معمول به همین نتایج می‏رسیم. بدین ترتیب عمودهایی که از همة نقاط خطی بر آن اخراج شوند در یک نقطه به نام قطب خط متقاربند. هر خطی که یک نقطه از خطی را به قطب آن وصل کند، یا، به صورتی دیگر، هر شعاعی که از قطب خطی خارج شود، بر آن خط عمود است. خواننده بی اشکال می‏تواند نشان دهد که نه تنها هر یک از عمودها را در نظر بگیریم همواره فاصلة عمودی قطب از خط یکی است. بلکه برای همة خطها فاصله قطب از خط یک مقدار است. این فاصلة عمودی را با q نشان می‏دهیم. در دنبال پژوهشی که می‏کنیم O را (شکل ب)

قطب خط L  می‏انگاریم. دو خط بر O بگذرانید ، اینها L را  در B, A به زاویة قائمه قطع خواهند کرد . OA  را از A تا َO امتداد می‏دهیم به قسمی‏که َAO مساوی q شود.  آنگاه اگر از َO به B وصل کنیم به آسانی می‏توان نشان داد که B َO عمود است بر L  وOو B وَO بر یک خط راستند ، و B َO به طول q است . پس اگر به طور موقت امکان این را که  ,OَO یک نقطه باشند طرد کنیم به نظر می‏رسد که هر خطی دو قطب داشته باشد . به علاوه OA,OB   یک عمود مشترک دارند و در دو نقطه تقاطع می‏کنند ، و یک دو ضلعی یا دو زاویه ای تشکیل می‏دهند که هر ضلعش به طول q2 است . این  حکم ، چنانکه هم اکنون نشان خواهیم داد، برای هر جفت خط صادق است.

فرض کنید L,m (شکل ج)

دو خط دلخواه باشند . اینها در نقطه ای چونo تلاقی خواهند کرد . روی هر خط و در هر امتداد ابتدا از O پاره خطی مساوی Q جدا کنید. به خصوص فرض کنید  OD,OC,OB,OA به طول q باشد. در اینصورت D,C,B,A روی خطی چون n خواهند بود که O قطب آن است. یک نتیجه آن که m,L در نقطة دیگری مانند َO ، که قطب دوم n است، تلاقی خواهند کرد. 

ادامه دارد. . . .



 

 


 

1 در این شکل خطها چنان رسم شده اند که گویی منحنی هستند. خطهای هندسة بیضوی به اندازة خطهای هندسة اقلیدسی و هندسة هذلولوی راستند. غالباً مناسب است که، وقتی نشان دادن رابطه های آنها با یکدیگر در فضایی محدود اهمیت داشته باشد ، آنها را به صورت منحنی نمایش دهیم . در این موارد نشان دادن رابطة بین آنها مهمتر است از مستقیم بودنشان.

 

2 به زودی ظاهر خواهد شد که B , A ممکن است بر حسب اتفاق چنان واقع شده باشند که دو عمود یک خط شوند. از اشکال می‏توان با عوض کردن وضع یکی از نقطه ها احتراز کرد. برهان حکم 6 کتاب یکم اقلیدس در اینجا معتبر خواهد بود هر گاه Aو O و B بر یک خط نباشند. 

واژه‌ها:

مطالب نه چندان بی‌ربط